La matematica nascosta nei nostri sensi: a cosa servono i logaritmi

Le grandezze fisiche possono differire di migliaia di volte, mentre i nostri sensi percepiscono differenze molto più piccole. I logaritmi aiutano a capire perché.

Misuriamo il rumore di due sorgenti sonore identiche: ciascuna, da sola, dà 70 dB. Se le accendiamo insieme, arriviamo a 140 dB? No, circa 73 dB. Il risultato sembra strano solo se trattiamo i decibel come numeri comuni.

Lo stesso equivoco compare altrove: quando sommiamo i rendimenti di un investimento, confrontiamo l’acidità delle bevande, leggiamo la magnitudo di un terremoto o cerchiamo quale nota stia a metà fra altre due. A volte intervalli uguali significano aggiungere la stessa quantità. Altre volte significano moltiplicare per lo stesso fattore.

I logaritmi servono a distinguere queste due situazioni. Quando i valori coprono intervalli enormi, permettono di ragionare in termini di rapporti anziché di differenze assolute.

Due numeri, due modi di trovare il punto medio

Qual è il punto medio fra 10 e 1.000? L’aritmetica risponde (10 + 1.000) / 2 = 505. Da 10 a 505 aggiungiamo 495; da 505 a 1.000 ne aggiungiamo altri 495. È il punto medio aritmetico, cioè la media aritmetica.

Ma se ogni passaggio deve moltiplicare il numero per lo stesso fattore? Allora il punto medio è 100. Prima moltiplichiamo per 10 (10 → 100), poi ancora per 10 (100 → 1.000). È il punto medio geometrico, calcolato come √(10 × 1.000): la media geometrica.

Entrambe le risposte sono corrette. Bisogna solo chiarire quale distanza stiamo misurando: una differenza o un rapporto?

Immaginiamo che una persona possieda 100.000 dollari e un’altra un milione. Quale sarebbe il gradino successivo: due milioni o dieci milioni?

Dieci milioni possono sembrare il gradino più naturale. Passare da 100.000 a un milione equivale a moltiplicare per dieci, proprio come passare da uno a dieci milioni. Gli importi aggiunti, però, sono molto diversi.

Spesso valutiamo la ricchezza e il successo in termini relativi, non soltanto guardando le cifre assolute.

Per le spese, le distanze percorse o l’aumento di peso, di solito è più comoda una scala aritmetica. Per la crescita degli investimenti, l’interesse composto, gli intervalli musicali e l’intensità del suono e della luce può essere più utile una scala logaritmica. Su quest’ultima, intervalli uguali rappresentano moltiplicazioni per lo stesso fattore, non aggiunte della stessa quantità.

I logaritmi trasformano le moltiplicazioni in addizioni. I logaritmi in base 10 di 10, 100 e 1.000 sono rispettivamente 1, 2 e 3. Numeri lontanissimi su una scala ordinaria risultano equidistanti su quella logaritmica. Un logaritmo risponde a una domanda: a quale potenza bisogna elevare la base per ottenere il numero dato? Poiché 10³ = 1.000, log₁₀(1.000) = 3.

Quale punto medio ci sembra più naturale?

Fra due quantità, quale valore ci sembra davvero a metà strada? Metti alla prova il tuo intuito con tre brevi esperimenti: tempo, lunghezze e scale di pH e decibel.

Calcolare i due punti medi è facile. Ma quale dei due ci sembra davvero a metà strada?

Perché il tempo non si divide sempre a metà

Nel nostro esperimento, il lampo breve dura 0,4 secondi e quello lungo 3,6 secondi. Il punto medio aritmetico è 2 secondi; quello geometrico, che divide l’intervallo in rapporti uguali, è 1,2 secondi. Quale sembra più vicino alla metà?

Nel 2024 lo psicologo David Sanderson ha osservato che le risposte cambiavano a seconda degli intervalli intermedi che i partecipanti avevano visto in precedenza. Per evitare questo effetto, negli esperimenti principali ogni partecipante vedeva un solo intervallo di prova. Il punto medio aritmetico veniva classificato più spesso come «lungo»; per il punto medio geometrico, invece, le risposte «breve» e «lungo» si dividevano quasi a metà. I dati risultavano più compatibili con un punto medio basato sui rapporti che con uno basato su differenze uguali [1].

Perché i nostri sensi attenuano differenze enormi

Immagina di uscire da una stanza buia e trovarti in pieno sole. La quantità di luce che entra negli occhi aumenta drasticamente, eppure il mondo non ti sembra migliaia di volte più luminoso. Il sistema visivo si adatta. Se la quantità di luce raddoppia, non è detto che raddoppi anche la luminosità percepita.

La nostra percezione sembra comprimere la distanza fra stimoli deboli e forti. L’intensità fisica della luce o del suono può aumentare di 10, 100 o 1.000 volte, mentre la sensazione cambia molto meno. Nell’Ottocento Gustav Fechner cercò di descrivere questo rapporto con un logaritmo. In seguito Stanley Stevens mostrò che, per molte sensazioni, una funzione di potenza si adatta meglio ai dati. Resta il fatto che uno stimolo fisico e la nostra esperienza non crescono necessariamente di pari passo [2].

La musica offre un esempio particolarmente intuitivo. Passare da 220 a 440 Hz significa salire di un’ottava. Lo stesso vale da 440 a 880 Hz. Nel primo caso la differenza è di 220 Hz, nel secondo di 440 Hz; in entrambi la frequenza raddoppia. Gli intervalli musicali dipendono dal rapporto fra le frequenze, non dalla loro differenza. Ecco perché entrano in gioco i logaritmi.

In termini musicali, 440 Hz è esattamente a metà fra 220 e 880 Hz, anche se la media aritmetica è 550 Hz. La media geometrica è già nella musica, anche se di solito non la chiamiamo così.

70 + 70 = 73: come funzionano davvero i decibel

Con i decibel la distinzione diventa ancora più netta. Qui il logaritmo non è un’ipotesi sul funzionamento del cervello: è nella definizione stessa della scala. Se l’intensità sonora aumenta di dieci volte, il livello sale di 10 dB; se aumenta di cento volte, sale di 20 dB, non di 100 o 200.

Se due sorgenti indipendenti producono la stessa intensità sonora in un determinato punto, le intensità si sommano: il totale è il doppio. Il livello cresce però di circa 3 dB. Ecco perché due sorgenti da 70 dB producono insieme circa 73 dB. Quanti aspirapolvere identici servono perché il suono sembri circa due volte più forte di quello di uno solo? All’incirca dieci! Un simile aumento soggettivo corrisponde spesso a circa 10 dB, cioè a dieci volte l’intensità fisica. Il NIOSH [3] indica come regola approssimativa un aumento di 8–10 dB.

La distinzione conta quando leggiamo le specifiche delle cuffie, valutiamo il rumore sul lavoro o confrontiamo le letture di un fonometro. I valori in decibel non si possono sommare come normali numeri.

Due unità di pH possono indicare una differenza di cento volte

Il pH sembra una normale scala di acidità, ma è definito come il logaritmo decimale negativo dell’attività degli ioni idrogeno. A pH 3 quell’attività è cento volte maggiore che a pH 5. Due sole unità di pH nascondono una differenza di cento volte [4].

In uno studio la cola aveva un pH di circa 2,4 e il caffè nero di circa 5,1. La differenza nell’attività degli ioni idrogeno era quindi di circa 500 volte [5].

Per confronto, il contenuto dello stomaco a digiuno ha spesso un pH di circa 1–2,5, mentre il sangue arterioso viene mantenuto nell’intervallo ristretto di 7,35–7,45. I valori dipendono dalle condizioni, ma mostrano quante variazioni possano nascondersi dietro differenze numeriche modeste [6] [7].

Un’attività degli ioni idrogeno cento volte maggiore non significa però un sapore cento volte più aspro. Due bevande con lo stesso pH possono avere sapori diversi. Contano il tipo e la quantità degli acidi, oltre agli altri ingredienti. Il pH permette di quantificare una differenza chimica, ma non di prevedere con precisione né il gusto né i danni allo smalto dentale.

Un terremoto di magnitudo 7 non è solo un po’ più forte di uno di magnitudo 6

Anche i terremoti nascondono una trappola logaritmica. Un punto in più di magnitudo corrisponde a un’ampiezza delle onde sismiche circa dieci volte maggiore e a un’energia liberata circa 32 volte superiore. Una differenza di due punti implica quasi mille volte l’energia [8].

Questo non significa che la magnitudo ci dica quanto sia stata forte la scossa in una casa specifica. Profondità, distanza, caratteristiche del terreno e qualità degli edifici influenzano le conseguenze. La scala di magnitudo comprime comunque un’enorme gamma di misure fisiche in numeri relativamente piccoli.

Come si può avere un rendimento medio del +25% senza guadagnare nulla?

Supponiamo di investire 100 dollari. Il primo anno guadagniamo il 100% e arriviamo a 200 dollari. Il secondo anno perdiamo il 50%. Torniamo così a 100 dollari.

La media aritmetica dei rendimenti annuali è (+100% − 50%) / 2 = +25% all’anno. Sembra un ottimo risultato. Eppure sul conto non è rimasto un dollaro in più.

Per calcolare il rendimento annualizzato tenendo conto della capitalizzazione dobbiamo usare i fattori di crescita: 2 × 0,5 = 1. La loro media geometrica è √1 = 1, cioè 0% all’anno. È questa cifra a descrivere che cosa è successo davvero al capitale nei due anni.

La media aritmetica non è sbagliata: i due rendimenti hanno davvero una media del +25%. Non è però il tasso a cui è cresciuto il capitale. Più oscillano i rendimenti annuali, maggiore può diventare la distanza fra le due medie.

È qui che i logaritmi tornano utili: trasformano il prodotto dei fattori di crescita in una somma. Invece di moltiplicare fra loro i fattori di diversi anni, possiamo sommarne i logaritmi e poi riconvertire il risultato.

Quando una scala logaritmica fa sembrare meno gravi le cattive notizie

Su una scala ordinaria, distanze uguali significano aumenti uguali; su una scala logaritmica, moltiplicazioni per lo stesso fattore. Entrambe sono matematicamente legittime, ma possono dare al lettore impressioni molto diverse degli stessi dati.

Nella documentazione ufficiale dell’antidolorifico OxyContin, le concentrazioni del farmaco nel sangue erano riportate su scala logaritmica. Per un farmacologo è una scelta comune per visualizzare l’eliminazione di un medicinale. In seguito Purdue Pharma è stata accusata di aver usato grafici di questo genere nella promozione del prodotto per far apparire meno ripida la diminuzione della concentrazione. Un grafico può essere matematicamente corretto e tuttavia trasmettere un’impressione fuorviante [9] [10].

Nel 2014 il sito britannico May2015.com usò grafici a barre con una scala logaritmica per presentare i sondaggi politici. Di solito confrontiamo le barre in base alla loro altezza rispetto allo zero, ma lo zero non esiste su un asse logaritmico. Le differenze fra i numeri apparivano quindi molto diverse da quelle di un grafico convenzionale. Dopo le critiche di Full Fact [11], il sito passò a un asse ordinario.

Come riconoscerla in cinque secondi: se su un asse leggi 1, 10, 100, 1.000 anziché 1, 2, 3, 4, stai guardando una scala logaritmica. Una retta crescente può indicare una crescita percentuale costante, non un aumento numerico costante.

Perché studiare i logaritmi se i calcoli li fa lo smartphone?

Le calcolatrici ci hanno liberato dalle tavole dei logaritmi. Non ci dicono però che cosa significano i risultati. Alcune quantità vanno mediate sommando, altre moltiplicando. Su certe scale una tacca indica un piccolo incremento, su altre nasconde una variazione di dieci volte. La stessa crescita può sembrare quasi verticale in un grafico e una semplice linea retta in un altro.

Invece di chiederci «A cosa mi serviranno mai i logaritmi?», proviamo a cambiare domanda. La prossima volta che incontriamo decibel, pH, magnitudo, interesse composto o un’ottava, chiediamoci: di quanto è cambiato il valore, oppure quante volte è cambiato? Se la risposta è «quante volte», probabilmente c’è di mezzo un logaritmo.

Fonti e riferimenti

1. Sanderson D. J. (2024). A bias-free test of human temporal bisection: Evidence against bisection at the arithmetic mean. Cognition, 247, 105770.
2. Mertens A., Mertens U. K., Lerche V. (2021). On the difficulty to think in ratios: a methodological bias in Stevens’ magnitude estimation procedure. Attention, Perception, & Psychophysics, 83, 2347–2365.
3. NIOSH (1975). Industrial Noise Control Manual. DHHS (NIOSH) Publication No. 75-183.
4. IUPAC (2025). pH. Compendium of Chemical Terminology (Gold Book), 5th ed.
5. Reddy A., Norris D. F., Momeni S. S., Waldo B., Ruby J. D. (2016). The pH of beverages in the United States. Journal of the American Dental Association, 147(4), 255–263.
6. Schneider F. et al. (2019). In Vitro and In Vivo Test Methods for the Evaluation of Gastroretentive Dosage Forms. Pharmaceutics, 11(8), 416.
7. MedlinePlus. Arterial Blood Gas (ABG) Test. U.S. National Library of Medicine.
8. USGS. Earthquake Magnitude, Energy Release, and Shaking Intensity. U.S. Geological Survey.
9. Edwards J. (2011). How Purdue Used Misleading Charts to Hide OxyContin’s Addictive Power. CBS News.
10. City of Lorain v. Purdue Pharma L.P. et al. (2017). Court filing and complaint (Exhibit 1). U.S. District Court, Northern District of Ohio.
11. Full Fact (2014). Bad Graphs: Is this graph doing well or badly?. October 30, 2014.