La matemática invisible de nuestros sentidos: ¿para qué sirven los logaritmos?

Hay magnitudes físicas que pueden diferir miles de veces y, aun así, nuestros sentidos perciben esas diferencias como mucho menores. Los logaritmos ayudan a entender por qué.

Dos fuentes de ruido idénticas marcan 70 dB cada una. Si suenan a la vez, ¿obtenemos 140 dB? No: unos 73 dB. La cuenta solo parece equivocada cuando tratamos los decibelios como números corrientes.

La misma confusión aparece en otros ámbitos. Sumamos rentabilidades, comparamos la acidez de las bebidas, interpretamos la magnitud de un terremoto o buscamos la nota situada a medio camino entre otras dos. A veces, dar el mismo paso significa añadir la misma cantidad. Otras veces significa multiplicar por el mismo factor.

Para eso sirven los logaritmos: para entender las proporciones entre magnitudes muy distintas cuando la regla de toda la vida se queda corta.

Dos números, dos puntos medios posibles

Tomemos 10 y 1.000. ¿Qué número está a medio camino? La aritmética nos da (10 + 1.000) / 2 = 505. De 10 a 505 hay que sumar 495, y de 505 a 1.000, otros 495. Es el punto medio aritmético, también llamado media aritmética.

Pero podemos plantear otra pregunta: ¿y si en cada paso multiplicáramos por el mismo factor? Entonces el punto medio es 100: primero multiplicamos por 10 (10 → 100) y después otra vez por 10 (100 → 1.000). Es el punto medio geométrico: √(10 × 1.000), o media geométrica.

Las dos respuestas son correctas. El problema surge cuando no distinguimos entre medir una diferencia y medir una proporción.

Imagina que una persona tiene un patrimonio de 100.000 dólares y otra, de un millón. ¿Cuál sería el siguiente peldaño de esa escalera: dos millones o diez millones?

Diez millones parece la continuación más natural. Pasar de 100.000 a un millón resulta comparable a pasar de uno a diez millones. En ambos casos el patrimonio se multiplica por diez, aunque las diferencias en dólares sean enormes.

A menudo juzgamos la riqueza y el éxito por cambios relativos, no solo por las cifras absolutas.

Para calcular gastos, distancias recorridas o kilos ganados suele resultar más cómoda una escala aritmética. En cambio, para el crecimiento de una inversión, el interés compuesto, los intervalos musicales o la intensidad de la luz y del sonido, una escala logarítmica puede ser más útil. En ella, avanzar la misma distancia significa multiplicar por el mismo factor, no sumar la misma cantidad.

Los logaritmos convierten las multiplicaciones en sumas. Por ejemplo, los logaritmos decimales de 10, 100 y 1.000 son 1, 2 y 3. En una escala lineal esos números están muy separados; en una logarítmica, quedan a la misma distancia unos de otros. Un logaritmo responde a una pregunta sencilla: ¿a qué potencia hay que elevar la base para obtener este número? Como 10³ = 1.000, entonces log₁₀(1.000) = 3.

Pon a prueba tu intuición

¿Qué nos parece que está a medio camino entre dos magnitudes? Compruébalo con tres experimentos breves: uno sobre el tiempo, otro sobre la longitud de unos segmentos y un tercero con las escalas de pH y decibelios.

Sobre el papel es fácil calcular los dos puntos medios. ¿Con cuál se queda nuestra percepción?

Por qué el tiempo no siempre se divide por la mitad

En nuestro experimento, el destello corto dura 0,4 segundos y el largo, 3,6. El punto medio aritmético está en 2 segundos. Si buscamos dos pasos con el mismo factor multiplicativo, el punto medio está en 1,2 segundos. ¿Cuál te parece que está a medio camino?

En 2024, el psicólogo David Sanderson observó que la respuesta cambiaba según los intervalos intermedios que hubieran visto los participantes. Para evitar ese efecto, en los experimentos principales cada participante vio un único intervalo de prueba. Los participantes tendían a clasificar el punto medio aritmético como «largo», mientras que, en el geométrico, las respuestas se repartieron aproximadamente por igual entre «corto» y «largo». Los datos encajaban mejor con un punto medio basado en proporciones que con uno basado en diferencias iguales [1].

Por qué nuestros sentidos suavizan diferencias enormes

Imagina que sales de una habitación oscura a pleno sol. La cantidad de luz que entra en tus ojos cambia muchísimo, pero no ves de repente el mundo miles de veces más brillante. Nuestra vista se adapta a la iluminación. El brillo que percibimos no responde a una regla tan simple como «el doble de luz, el doble de brillo».

Nuestra percepción parece comprimir la distancia entre señales débiles e intensas. La intensidad de la luz o el sonido puede multiplicarse por diez, por cien o por mil, mientras que la sensación cambia mucho menos. En el siglo XIX, Gustav Fechner intentó describir esa relación mediante un logaritmo. Más tarde, Stanley Stevens mostró que, para muchas sensaciones, funciona mejor una ley de potencias. La idea central sigue en pie: el estímulo físico y nuestra experiencia de él no tienen por qué variar al mismo ritmo [2].

La música ofrece un ejemplo especialmente intuitivo. De 220 a 440 hercios hay una octava. De 440 a 880 hercios también. En el primer caso aumentamos 220 Hz; en el segundo, 440 Hz. Pero la proporción es idéntica: en ambos casos se duplica la frecuencia. Los intervalos musicales dependen de la proporción entre frecuencias. Por eso los logaritmos encajan tan bien en la música.

Así, 440 Hz está exactamente a medio camino entre 220 y 880 Hz en términos musicales, aunque el punto medio aritmético sea 550 Hz. Es la media geométrica en acción, incluso si nunca has abierto un libro de álgebra.

70 + 70 = 73: qué miden realmente los decibelios

Con los decibelios se ve todavía más claro. Aquí el logaritmo no es una teoría sobre el cerebro: forma parte de la propia definición de la escala. Si la intensidad física del sonido se multiplica por diez, su nivel aumenta 10 dB. Si se multiplica por cien, aumenta 20 dB, no 100 ni 200.

Cuando dos fuentes independientes producen la misma intensidad sonora en un punto, sus intensidades se suman y el resultado es el doble. El nivel sube unos 3 dB: dos fuentes de 70 dB producen juntas aproximadamente 73 dB. ¿Cuántas aspiradoras idénticas harían falta para que el ruido pareciera el doble de fuerte que el de una sola? ¡Unas diez! Ese aumento subjetivo suele corresponder a unos 10 dB, es decir, a diez veces la intensidad física. NIOSH [3] ofrece como regla aproximada una diferencia de 8–10 dB.

Esto importa al leer las especificaciones de unos auriculares, evaluar el ruido en el trabajo o comparar las mediciones de un sonómetro. Los valores en decibelios no se suman como números corrientes.

Acidez: dos puntos de pH pueden suponer una diferencia de cien veces

El pH parece una escala de acidez como cualquier otra, pero se basa en el logaritmo decimal negativo de la actividad de los iones de hidrógeno. A pH 3, esa actividad es cien veces mayor que a pH 5. Una diferencia de solo dos puntos esconde un cambio de cien veces [4].

En un estudio, la cola tenía un pH cercano a 2,4 y el café sin leche, a 5,1. Eso equivale a una diferencia de unas 500 veces en la actividad de los iones de hidrógeno [5].

Como referencia, el contenido gástrico en ayunas suele tener un pH de 1–2,5, mientras que el de la sangre arterial se mantiene en el estrecho intervalo de 7,35–7,45. Estos valores dependen de las condiciones, pero muestran cuánta variación cabe en una escala numérica pequeña [6] [7].

Sin embargo, una actividad de iones de hidrógeno cien veces mayor no significa que una bebida sepa cien veces más ácida. Dos bebidas con el mismo pH pueden tener sabores distintos. Importan el tipo y la cantidad de ácido, además de los demás ingredientes. El pH expresa la magnitud de una diferencia química, pero no predice con precisión ni el sabor ni el daño al esmalte dental.

Un terremoto de magnitud 7 no es solo un poco más fuerte que uno de magnitud 6

La magnitud de los terremotos plantea otra trampa logarítmica. Una diferencia de una unidad de magnitud equivale aproximadamente a diez veces la amplitud de las ondas sísmicas y a unas 32 veces la energía liberada. Una diferencia de dos unidades supone casi mil veces más energía [8].

Eso no significa que la magnitud indique cuánto se notó el temblor en tu casa. También influyen la profundidad del foco, la distancia, las características del terreno y la calidad de los edificios. Aun así, la escala de magnitud permite representar diferencias físicas enormes con números relativamente pequeños.

¿Cómo puedes tener una rentabilidad media del +25 % y no ganar nada?

Supón que empiezas con 100 dólares. El primer año tu inversión sube un 100 % y pasas a tener 200 dólares. El segundo año cae un 50 %. Vuelves a los 100 dólares iniciales.

La media aritmética de esos dos rendimientos anuales es (+100 % − 50 %) / 2 = +25 % al año. Suena estupendo. Solo que tu cuenta no ha ganado ni un dólar.

Para calcular la rentabilidad anual teniendo en cuenta el efecto compuesto hay que usar los factores de crecimiento: 2 × 0,5 = 1. Su media geométrica es √1 = 1, es decir, 0 % al año. Esa cifra refleja lo que realmente ocurrió con tu dinero durante los dos años.

La media aritmética no está mal calculada: esos dos rendimientos dan, en efecto, un +25 % de media. Pero ese porcentaje no mide cuánto creció tu capital. Cuanto mayores son las oscilaciones de los rendimientos anuales, más puede aumentar la diferencia entre ambas medias.

Aquí resultan útiles los logaritmos: convierten un producto de factores de crecimiento en una suma. En lugar de multiplicar los factores de muchos años, podemos sumar sus logaritmos y volver al final a la escala habitual.

Cuando los logaritmos pueden disimular las malas noticias

En una escala lineal, distancias iguales representan incrementos iguales. En una escala logarítmica, representan multiplicaciones por el mismo factor. Ambas son matemáticamente válidas. Pero la elección de una u otra puede cambiar mucho la impresión que se lleva el lector.

La documentación oficial del analgésico OxyContin mostraba las concentraciones del fármaco en sangre mediante una escala logarítmica. Para los farmacólogos es una forma perfectamente normal de representar la eliminación de un medicamento. Más tarde se acusó a Purdue Pharma de utilizar gráficos de este tipo en su material promocional para que el descenso de la concentración pareciera menos pronunciado. Un gráfico puede ser matemáticamente correcto y, aun así, inducir a error [9] [10].

En 2014, la web británica May2015.com utilizó gráficos de barras con escala logarítmica para representar encuestas electorales. Sin embargo, las barras suelen compararse por su altura desde el cero, y el cero no existe en un eje logarítmico. Las diferencias entre los porcentajes se veían muy distintas de como habrían aparecido en un gráfico de barras convencional. Tras las críticas de Full Fact [11], la web pasó a utilizar un eje ordinario.

Una comprobación de cinco segundos: si un eje marca 1, 10, 100, 1.000 en lugar de 1, 2, 3, 4, estás ante una escala logarítmica. Una línea recta ascendente puede representar un crecimiento porcentual constante, no un aumento numérico constante.

¿Para qué aprender logaritmos si el móvil hace las cuentas?

La calculadora nos ha librado de consultar tablas de logaritmos. Pero no nos dice qué significan los resultados. Algunas magnitudes se promedian sumando y otras, multiplicando. En unas escalas, una división representa un pequeño incremento; en otras, esconde un aumento de diez veces. Un gráfico convierte el crecimiento en una subida casi vertical; otro, en una línea recta.

En lugar de preguntar «¿cuándo voy a necesitar los logaritmos?», podemos dar la vuelta a la cuestión. La próxima vez que oigas hablar de decibelios, pH, magnitudes sísmicas, interés compuesto u octavas, pregúntate: ¿estamos midiendo cuánto ha cambiado algo o por cuánto se ha multiplicado? Si lo segundo es lo importante, probablemente haya un logaritmo detrás.

Fuentes

1. Sanderson D. J. (2024). A bias-free test of human temporal bisection: Evidence against bisection at the arithmetic mean. Cognition, 247, 105770.
2. Mertens A., Mertens U. K., Lerche V. (2021). On the difficulty to think in ratios: a methodological bias in Stevens’ magnitude estimation procedure. Attention, Perception, & Psychophysics, 83, 2347–2365.
3. NIOSH (1975). Industrial Noise Control Manual. DHHS (NIOSH) Publication No. 75-183.
4. IUPAC (2025). pH. Compendium of Chemical Terminology (Gold Book), 5th ed.
5. Reddy A., Norris D. F., Momeni S. S., Waldo B., Ruby J. D. (2016). The pH of beverages in the United States. Journal of the American Dental Association, 147(4), 255–263.
6. Schneider F. et al. (2019). In Vitro and In Vivo Test Methods for the Evaluation of Gastroretentive Dosage Forms. Pharmaceutics, 11(8), 416.
7. MedlinePlus. Arterial Blood Gas (ABG) Test. U.S. National Library of Medicine.
8. USGS. Earthquake Magnitude, Energy Release, and Shaking Intensity. U.S. Geological Survey.
9. Edwards J. (2011). How Purdue Used Misleading Charts to Hide OxyContin’s Addictive Power. CBS News.
10. City of Lorain v. Purdue Pharma L.P. et al. (2017). Court filing and complaint (Exhibit 1). U.S. District Court, Northern District of Ohio.
11. Full Fact (2014). Bad Graphs: Is this graph doing well or badly? 30 de octubre de 2014.