물리량은 수천 배씩 달라져도 우리 감각이 느끼는 차이는 훨씬 작을 수 있다. 그 간극을 이해하는 데 로그가 도움이 된다.

소음원 두 개를 각각 측정했더니 둘 다 70 dB였다. 동시에 켜면 140 dB일까? 아니다. 약 73 dB다. 데시벨을 보통 숫자처럼 더하려 하기 때문에 이상하게 보일 뿐이다.

이런 혼동은 다른 곳에서도 일어난다. 투자 수익률을 합산하고, 음료의 산도를 비교하고, 지진 규모를 읽고, 두 음 사이의 중간 음을 찾을 때도 마찬가지다. 같은 간격이 똑같은 양을 더한다는 뜻일 때가 있고, 똑같은 배수를 곱한다는 뜻일 때도 있다.

로그는 바로 이 차이를 이해하는 도구다. 숫자의 범위가 너무 커서 일반 눈금으로 다루기 어려울 때, 크기의 차이 대신 비율을 보게 해 준다.

같은 두 수에도 중간값은 두 가지다

10과 1,000의 중간은 얼마일까? 보통 산술로 계산하면 (10 + 1,000) / 2 = 505다. 10에서 505까지 495를 더하고, 거기서 다시 495를 더하면 1,000이다. 이것이 산술적 중간값, 즉 산술평균이다.

그런데 매 단계에서 똑같은 배수를 곱해야 한다면? 중간값은 100이다. 10에 10을 곱해 100을 만들고(10 → 100), 다시 10을 곱해 1,000에 도달한다(100 → 1,000). 이것이 기하학적 중간값이다. √(10 × 1,000)으로 구하며, 기하평균이라고도 한다.

둘 다 옳다. 중요한 것은 어떤 간격을 재고 있는지다. 숫자의 차이인가, 아니면 비율인가?

한 사람의 자산이 10만 달러, 다른 사람의 자산이 100만 달러라고 해 보자. 이 계단의 다음 칸은 200만 달러일까, 1,000만 달러일까?

1,000만 달러가 다음 칸처럼 느껴질 수 있다. 10만 달러가 100만 달러가 되는 것도, 100만 달러가 1,000만 달러가 되는 것도 똑같이 10배 증가한 것이기 때문이다. 실제 늘어난 금액은 크게 다르다.

부와 성공을 판단할 때 우리는 절대 금액만이 아니라 상대적인 크기도 본다.

지출, 이동 거리, 늘어난 체중 등을 따질 때는 산술 눈금이 대체로 편하다. 반면 투자 성장, 복리, 음정, 소리와 빛의 강도를 이해할 때는 로그 눈금이 유용한 경우가 많다. 로그 눈금에서 같은 간격은 같은 양을 더하는 것이 아니라 같은 배수를 곱하는 것을 뜻한다.

로그를 쓰면 곱셈을 덧셈으로 다룰 수 있다. 10, 100, 1,000의 상용로그는 각각 1, 2, 3이다. 일반 눈금에서는 멀찍이 떨어진 수들이 로그 눈금에서는 같은 간격으로 놓인다. 로그가 답하는 질문은 간단하다. 밑이 되는 수를 몇 제곱해야 원하는 값이 나올까? 10³ = 1,000이므로 log₁₀(1,000) = 3이다.

우리의 직감은 어떤 중간값을 고를까?

두 값의 한가운데는 어디라고 느껴질까? 시간, 선분의 길이, pH와 데시벨을 이용한 세 가지 짧은 실험으로 확인해 보자.

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계산으로는 두 중간값을 쉽게 찾을 수 있다. 하지만 실제로 느껴지는 중간은 어느 쪽일까?

시간의 ‘중간’이 하나가 아닌 이유

실험에서 짧은 섬광은 0.4초, 긴 섬광은 3.6초 지속된다. 산술적 중간값은 2초지만, 같은 비율로 나눈 기하학적 중간값은 1.2초다. 어느 쪽이 더 중간처럼 느껴질까?

2024년 심리학자 데이비드 샌더슨(David Sanderson)은 참가자가 앞서 어떤 중간 시간 간격을 봤는지에 따라 판단이 달라졌다고 보고했다. 이런 영향을 피하기 위해 주요 실험에서는 참가자마다 시험 시간 간격을 하나만 제시했다. 산술적 중간값은 ‘길다’고 판단한 사람이 더 많았지만, 기하학적 중간값에서는 ‘짧다’와 ‘길다’가 거의 반반이었다. 자료는 같은 차이보다 같은 비율을 기준으로 삼는 중간값에 더 잘 부합했다 [1].

왜 우리는 엄청난 차이를 작게 느낄까?

어두운 방에서 햇빛이 쏟아지는 밖으로 걸어 나왔다고 생각해 보자. 눈에 들어오는 빛은 급격히 늘지만 세상이 수천 배 밝아 보이지는 않는다. 우리의 시각계가 빛에 적응하기 때문이다. 빛의 양이 두 배가 됐다고 느끼는 밝기까지 두 배가 되는 것은 아니다.

우리 감각은 약한 자극과 강한 자극의 차이를 압축해 받아들이는 듯하다. 빛이나 소리의 물리적 강도가 10배, 100배, 1,000배로 커져도 느끼는 변화는 훨씬 작을 수 있다. 19세기 구스타프 페히너(Gustav Fechner)는 이 관계를 로그로 설명하려 했다. 이후 스탠리 스티븐스(Stanley Stevens)는 여러 감각에 거듭제곱 함수가 더 잘 들어맞는다는 것을 보였다. 핵심은 물리적 자극과 주관적 경험이 반드시 같은 비율로 변하지 않는다는 데 있다 [2].

음악에서는 이 차이를 귀로도 알 수 있다. 220 Hz에서 440 Hz로 올라가면 한 옥타브, 440 Hz에서 880 Hz로 올라가도 한 옥타브다. 주파수 차이는 각각 220 Hz와 440 Hz로 다르다. 하지만 두 경우 모두 주파수는 정확히 두 배가 된다. 음정은 주파수의 차이보다 비율로 정해진다. 여기에도 로그가 쓰인다.

그래서 음악적으로 440 Hz는 220 Hz와 880 Hz의 정확한 중간이다. 산술평균은 550 Hz인데도 말이다. 대수학을 배운 적이 없더라도 우리는 음악을 통해 기하평균을 이미 경험하고 있다.

70 + 70 = 73: 데시벨은 왜 이렇게 더해질까?

데시벨에서는 차이와 비율의 구분이 더 분명해진다. 이 경우 로그는 뇌가 작동하는 방식에 관한 가설이 아니다. 눈금 자체가 로그로 정의된다. 소리의 강도가 10배가 되면 강도 레벨은 10 dB 올라간다. 100배가 되면 20 dB가 올라가지, 100이나 200 dB가 올라가는 것은 아니다.

서로 독립적인 두 음원이 한 지점에서 똑같은 소리 강도를 만든다면, 두 강도의 합은 하나의 두 배다. 하지만 데시벨 수치는 약 3 dB만 증가한다. 각각 70 dB인 두 음원을 동시에 켜면 약 73 dB가 되는 이유다. 청소기 한 대보다 소리가 두 배쯤 크게 느껴지려면 같은 청소기가 몇 대 필요할까? 약 열 대다! 이런 주관적 변화는 흔히 약 10 dB, 즉 물리적 강도 10배 증가에 해당한다. NIOSH [3]는 약 8~10 dB라는 경험적 기준을 제시한다.

헤드폰 사양을 읽거나, 작업장의 소음을 평가하거나, 소음계 수치를 비교할 때 이 차이는 중요하다. 데시벨 값은 일반 숫자처럼 더할 수 없다.

pH 수치가 두 단위 차이 나면 수소 이온 활동도는 100배 달라진다

pH는 단순한 산도 눈금처럼 보인다. 하지만 수소 이온 활동도의 상용로그에 음의 부호를 붙여 정의한 값이다. pH 3에서 수소 이온 활동도는 pH 5의 100배다. 눈금 두 칸에 100배의 차이가 담겨 있다 [4].

한 연구에서 콜라의 pH는 약 2.4, 블랙커피는 약 5.1이었다. 수소 이온 활동도로는 약 500배 차이가 나는 수치다 [5].

공복 상태의 위 내용물은 흔히 pH 약 1~2.5인 반면, 동맥혈은 7.35~7.45의 좁은 범위로 유지된다. 측정 조건에 따라 값은 달라질 수 있지만, 작은 숫자 차이에도 얼마나 큰 변화가 담기는지 보여 준다 [6] [7].

그렇다고 수소 이온 활동도가 100배 높으면 100배 더 시게 느껴지는 것은 아니다. pH가 같아도 맛은 다를 수 있다. 산의 종류와 양, 다른 성분들이 모두 영향을 준다. pH는 화학적 차이의 규모를 나타내지만 맛이나 치아 법랑질 손상을 정확하게 예측하지는 못한다.

규모 7 지진은 규모 6 지진보다 얼마나 강할까?

지진 규모에도 로그의 함정이 있다. 규모가 한 단위 커지면 지진파의 진폭은 대략 10배, 방출되는 에너지는 약 32배가 된다. 두 단위 차이면 에너지 변화는 거의 1,000배에 이른다 [8].

그렇다고 지진 규모만으로 내 집이 얼마나 흔들렸는지를 알 수는 없다. 진원의 깊이와 거리, 지반 상태, 건물의 품질에 따라 피해가 달라진다. 지진 규모 눈금은 방대한 물리량의 차이를 작은 숫자 안에 압축해 담는다.

돈은 한 푼도 늘지 않았는데 평균 수익률이 +25%일 수 있을까?

100달러로 투자를 시작했다고 하자. 첫해에 100% 수익이 나서 200달러가 됐다. 둘째 해에는 50% 손실이 났다. 결국 다시 100달러다.

두 해의 수익률을 산술평균하면 (+100% − 50%) / 2 = 연 +25%다. 그럴듯한 숫자다. 하지만 계좌 잔액은 한 푼도 늘지 않았다.

복리를 반영한 연평균 수익률은 성장 배수로 구해야 한다. 2 × 0.5 = 1이고, 기하평균은 √1 = 1이다. 따라서 연 0%다. 두 해 동안 돈이 실제로 얼마나 늘었는지를 보여 주는 수치다.

산술평균이 틀린 것은 아니다. 두 수익률의 평균이 정말 +25%이기 때문이다. 다만 자본이 실제로 불어난 속도와는 다르다. 연간 수익률의 변동 폭이 커질수록 두 평균의 차이도 커질 수 있다.

이럴 때 로그가 쓸모 있다. 성장 배수의 곱을 로그의 합으로 바꿀 수 있기 때문이다. 여러 해의 성장 배수를 계속 곱하는 대신 로그를 더한 뒤 마지막에 원래 값으로 되돌리면 된다.

로그 눈금은 나쁜 소식도 덜 나빠 보이게 할 수 있다

일반 눈금에서 같은 간격은 같은 양의 증가를, 로그 눈금에서는 같은 배수의 증가를 뜻한다. 어느 쪽도 수학적으로 틀리지 않다. 하지만 눈금을 바꾸면 같은 데이터도 전혀 다른 인상을 줄 수 있다.

진통제 옥시콘틴(OxyContin)의 공식 문서에는 약물의 혈중 농도가 로그 눈금으로 표시돼 있었다. 약리학자에게는 약물이 체내에서 제거되는 과정을 보여 주는 흔한 방법이다. 하지만 퍼듀 파마(Purdue Pharma)는 나중에 이러한 그래프를 마케팅에 사용해 농도가 감소하는 모습이 덜 가파르게 보이도록 했다는 의혹을 받았다. 그래프가 수학적으로 정확하다고 해서 오해의 소지가 없는 것은 아니다 [9] [10].

2014년 영국 웹사이트 May2015.com은 정치 여론조사 결과를 로그 눈금을 사용한 막대그래프로 보여 줬다. 사람들은 보통 0을 기준으로 한 막대의 높이를 비교하는데, 로그축에는 0이 없다. 그래서 수치 사이의 차이가 일반 막대그래프와는 전혀 다르게 보였다. Full Fact [11]의 비판 이후 사이트는 일반 축으로 바꿨다.

5초 확인법: 축의 숫자가 1, 2, 3, 4가 아니라 1, 10, 100, 1,000으로 늘어난다면 로그 눈금이다. 이런 그래프의 우상향 직선은 매번 같은 양이 아니라 같은 비율로 증가했다는 뜻일 수 있다.

휴대전화가 계산해 주는데 왜 로그를 배워야 할까?

계산기 덕분에 더는 로그표를 찾아볼 필요가 없다. 하지만 계산기는 결과가 무엇을 뜻하는지까지 알려 주지는 않는다. 어떤 값은 더해서 평균을 내고, 어떤 값은 곱해서 평균을 구해야 한다. 어떤 눈금에서 한 칸은 작은 증가량이지만, 다른 눈금에서는 10배의 변화다. 같은 증가도 그래프에 따라 거의 수직으로 치솟거나 완만한 직선으로 보인다.

‘로그를 어디에 써먹지?’라는 질문을 바꿔 보자. 다음에 데시벨, pH, 지진 규모, 복리, 옥타브를 접하면 먼저 따져 보라. 얼마나 달라졌는가, 아니면 몇 배가 되었는가? 답이 ‘몇 배’에 있다면 로그가 쓰이고 있을 가능성이 크다.

참고문헌

  1. Sanderson D. J. (2024). A bias-free test of human temporal bisection: Evidence against bisection at the arithmetic mean. Cognition, 247, 105770.
  2. Mertens A., Mertens U. K., Lerche V. (2021). On the difficulty to think in ratios: a methodological bias in Stevens’ magnitude estimation procedure. Attention, Perception, & Psychophysics, 83, 2347–2365.
  3. NIOSH (1975). Industrial Noise Control Manual. DHHS (NIOSH) Publication No. 75-183.
  4. IUPAC (2025). pH. Compendium of Chemical Terminology (Gold Book), 5th ed.
  5. Reddy A., Norris D. F., Momeni S. S., Waldo B., Ruby J. D. (2016). The pH of beverages in the United States. Journal of the American Dental Association, 147(4), 255–263.
  6. Schneider F. et al. (2019). In Vitro and In Vivo Test Methods for the Evaluation of Gastroretentive Dosage Forms. Pharmaceutics, 11(8), 416.
  7. MedlinePlus. Arterial Blood Gas (ABG) Test. U.S. National Library of Medicine.
  8. USGS. Earthquake Magnitude, Energy Release, and Shaking Intensity. U.S. Geological Survey.
  9. Edwards J. (2011). How Purdue Used Misleading Charts to Hide OxyContin’s Addictive Power. CBS News.
  10. City of Lorain v. Purdue Pharma L.P. et al. (2017). Court filing and complaint (Exhibit 1). U.S. District Court, Northern District of Ohio.
  11. Full Fact (2014). Bad Graphs: Is this graph doing well or badly?. October 30, 2014.