Невидимая математика наших чувств. Зачем нужны логарифмы?

Мы живём в мире, где величины могут различаться в тысячи раз, а наши ощущения сглаживают контрасты. Логарифмы помогают понять, как это работает.

Два одинаковых источника шума по 70 децибел работают одновременно. Сколько получится: 140? Нет, примерно 73 дБ. В первый момент это выглядит как арифметическая ошибка. На самом деле ошибаемся мы, когда обращаемся с децибелами как с обычными числами.

Такие ошибки случаются далеко за пределами физики. Мы складываем проценты доходности, сравниваем кислотность напитков, читаем магнитуду землетрясения и пытаемся определить, какой звук находится посередине между двумя нотами. Иногда прибавить одно и то же значит сделать одинаковый шаг. А иногда одинаковый шаг означает умножить на одно и то же число.

Именно для второго случая нужны логарифмы: чтобы видеть отношения между огромными величинами, когда привычной линейки уже недостаточно.

Одни и те же числа, две разные середины

Возьмём числа 10 и 1000. Какая между ними середина? Школьная арифметика подсказывает: (10 + 1000) / 2 = 505. От 10 до 505 нужно прибавить 495, от 505 до 1000 — ещё 495. Это арифметическая середина или среднее арифметическое.

Но можно поставить вопрос иначе: где середина, если каждый следующий шаг должен увеличивать число в одно и то же число раз? Тогда ответ — 100: сначала число увеличивается в 10 раз (10 → 100), потом ещё в 10 раз (100 → 1000). Это геометрическая середина, √(10 × 1000) или среднее геометрическое.

Оба ответа правильные. Ошибка начинается тогда, когда мы не уточняем, какое расстояние измеряем: разницу или отношение.

Представьте, что у одного человека капитал 100 тысяч евро, у другого миллион. Какая следующая ступень: два миллиона или десять?

Интуитивно скорее десять. Переход от 100 тысяч к миллиону кажется сопоставимым с переходом от миллиона к десяти миллионам. В обоих случаях человек становится богаче в десять раз, хотя разница в абсолютных суммах огромная.

И дело не только в зрении или слухе. Мы нередко воспринимаем даже такие абстрактные вещи, как богатство и успех, через относительные изменения, а не абсолютные величины.

Когда нужно посчитать расходы, пройденное расстояние или прибавку в весе, удобнее арифметическая шкала. А для роста капитала, сложных процентов, музыкальных интервалов, интенсивности звука и света часто полезнее логарифмическая. На ней одинаковые шаги означают не одинаковую прибавку, а одинаковое увеличение в разы.

Логарифм превращает умножение в сложение. Например, десятичные логарифмы чисел 10, 100 и 1000 равны 1, 2 и 3. Три числа, которые на обычной шкале находятся далеко друг от друга, на логарифмической разделены одинаковыми шагами. Логарифм отвечает на простой вопрос: в какую степень нужно возвести основание, чтобы получить это число? 10³ = 1000, значит, log₁₀(1000) = 3.

Проверьте свою интуицию

Что кажется нам серединой между двумя величинами? Попробуйте проверить свою интуицию в трёх коротких опытах: со временем, длиной отрезков и шкалами pH и децибелов.

На бумаге обе середины легко вычислить. А какую из них выбирает наше восприятие?

Почему время не всегда делится пополам

В нашем опыте короткая вспышка длится 0,4 секунды, длинная — 3,6. Середина по равным прибавкам находится на 2 секундах. Но если разделить интервал по одинаковому множителю, получим 1,2 секунды. Какая из них кажется серединой?

В 2024 году психолог Дэвид Сандерсон обнаружил любопытную вещь: ответ зависел даже от того, какие промежуточные интервалы показывали участникам. Чтобы исключить это влияние, в основных экспериментах каждому человеку показывали только один проверочный интервал. Арифметическую середину люди чаще относили к длинным, а на геометрической ответы «короткий» и «длинный» разделились примерно поровну. Данные лучше согласуются с серединой по отношению, чем с серединой по прибавке [1].

Почему наши чувства сглаживают огромные различия

Представьте, что вы вышли из тёмной комнаты в солнечный день. Количество света, попадающего в глаза, изменилось очень сильно, но вы не видите окружающий мир в тысячи раз ярче привычного. Зрительная система приспосабливается к освещению, и диапазон воспринимаемых яркостей гораздо сложнее простого «вдвое больше света — вдвое ярче».

Наше восприятие словно сжимает разницу между слабым и сильным сигналом. Интенсивность света или звука может вырасти в десять, сто, тысячу раз, а ощущение изменится гораздо скромнее. Ещё в XIX веке Густав Фехнер пытался описать эту зависимость логарифмом. Позже Стэнли Стивенс показал, что для многих ощущений лучше подходит степенная функция. Но главное остаётся: физические величины и наши ощущения живут по разным правилам [2].

Со слухом особенно легко почувствовать смысл. Разница между звуками в 220 и 440 герц — одна октава. Между 440 и 880 герц — тоже одна октава. В первом случае прибавилось 220 Гц, во втором 440 Гц. Но отношение в обоих случаях одинаковое: частота удвоилась. Поэтому музыкальные интервалы естественно описывать через отношения, а расположение нот на такой шкале связано с логарифмами.

Получается, что частота 440 Гц находится точно посередине между 220 и 880 Гц по музыкальному интервалу. Хотя по арифметике середина — 550 Гц. Вот зачем геометрическое среднее нужно даже тому, кто никогда не открывает учебник алгебры.

70 + 70 = 73: что скрывается за децибелами

С децибелами ситуация ещё нагляднее, потому что здесь логарифм не гипотеза о мозге, а само определение шкалы. Если физическая интенсивность звука увеличилась в 10 раз, соответствующий уровень интенсивности повысился на 10 дБ. В 100 раз — на 20 дБ. Не на 100 и не на 200.

Если два независимых источника одинаково шумят в одной точке, их суммарная интенсивность удваивается. Уровень возрастает приблизительно на 3 дБ: два источника по 70 дБ дают около 73 дБ. А сколько одинаковых пылесосов нужно, чтобы звук казался примерно вдвое громче одного? Около десяти! Такое впечатление обычно соответствует прибавке примерно 10 дБ, то есть десятикратной физической интенсивности. NIOSH [3] приводит для этого приблизительное правило 8–10 дБ.

Это полезно, например, когда читаешь параметры наушников, оцениваешь шум на рабочем месте или сравниваешь измерения шумомера. Суммировать числа в децибелах обычным сложением нельзя.

Кислотность: разница в две единицы означает сто раз

pH кажется обычной шкалой кислотности, но за ним стоит отрицательный десятичный логарифм активности ионов водорода. Поэтому при pH 3 эта активность в сто раз выше, чем при pH 5. Разница всего в две единицы скрывает стократное изменение [4].

В одном исследовании у колы измерили pH около 2,4, у чёрного кофе около 5,1. По активности ионов водорода это разница примерно в 500 раз [5].

Для сравнения: содержимое желудка натощак часто имеет pH 1–2,5, а в артериальной крови он поддерживается в узком диапазоне 7,35–7,45. Значения зависят от условий, но показывают, насколько большой диапазон помещается на короткой шкале [6] [7].

Но стократная разница в активности ионов водорода не означает, что один напиток покажется нам в сто раз кислее другого. Даже при одинаковом pH напитки могут различаться на вкус: важны вид кислоты, её количество и другие компоненты. Поэтому pH отлично показывает масштаб химической разницы, но не предсказывает точно ни вкус, ни вред для зубов.

Землетрясение магнитудой 7 не «чуть сильнее» магнитуды 6

Та же логарифмическая ловушка встречается в сообщениях о землетрясениях. Разница в одну единицу магнитуды соответствует примерно десятикратной амплитуде сейсмических волн и в 32 раза большей выделенной энергии. Разница в две единицы — почти тысяча раз по энергии [8].

Поэтому новости о магнитуде важно читать осторожно. Магнитуда не равна силе тряски именно у вас дома: на последствия влияют глубина очага, расстояние, грунт и качество зданий. Но сама шкала позволяет уместить огромный разброс физических величин в сравнительно небольшие числа.

Как получить среднюю доходность +25% и ничего не заработать?

Есть пример ещё ближе к повседневной жизни. Допустим, у вас было €100. За первый год капитал вырос на 100%, и стало €200. Во второй год он упал на 50%. Осталось €100.

Среднее арифметическое двух годовых доходностей: (+100% − 50%) / 2 = +25% в год. Звучит неплохо. Только ваш капитал не вырос ни на евро.

Среднегодовую доходность с учётом сложных процентов считают по коэффициентам роста: 2 × 0,5 = 1. Геометрическое среднее этих коэффициентов — √1 = 1, то есть 0% в год. Именно такой показатель отражает фактический темп изменения капитала за оба года.

Арифметическое среднее здесь не ошибочно: два годовых результата действительно дают +25% в среднем. Но это не средний рост капитала. Чем сильнее скачут годовые доходности, тем заметнее разница между двумя средними.

Здесь и пригодятся логарифмы: они превращают произведение коэффициентов роста в сумму. Вместо того чтобы перемножать коэффициенты роста за много лет, можно сложить их логарифмы и в конце вернуться к обычным числам.

Когда логарифм помогает скрыть неприятное

На обычной шкале одинаковое расстояние означает одинаковую прибавку. На логарифмической — одинаковое увеличение во сколько-то раз. Обе шкалы математически правильные. Но одну из них гораздо легче использовать так, чтобы читатель увидел не совсем то, что происходит на самом деле.

В официальной документации обезболивающего OxyContin концентрацию препарата в крови показывали на логарифмической шкале. Для фармакологов это вполне обычный способ отображать выведение лекарства. Но компанию Purdue Pharma позже обвиняли в использовании подобных графиков в маркетинге, чтобы представить спад концентрации менее резким. Получается парадокс: график может быть математически правильным и одновременно создавать обманчивое впечатление[9] [10].

В 2014 году британский сайт May2015.com показывал политические рейтинги столбиками на логарифмической шкале. Но столбики обычно сравнивают по высоте от нуля, а у логарифмической шкалы нуля вообще нет. Из-за такой шкалы разница между рейтингами выглядела совсем иначе, чем на обычной столбиковой диаграмме. После критики Full Fact [11] сайт заменил ось на обычную.

Проверка на пять секунд: если по оси идут 1, 10, 100, 1000 вместо 1, 2, 3, 4, перед вами логарифмическая шкала. Прямой подъём на таком графике может означать не равную прибавку, а постоянный рост в процентах.

Зачем учить логарифмы, если всё считает телефон?

Калькулятор избавил нас от необходимости заглядывать в таблицы логарифмов. Но он не объяснит, что означают полученные числа. Одни величины разумно усреднять сложением, другие — умножением. Одни шкалы показывают прибавку, другие прячут за одним делением десятикратное изменение. Одни графики делают рост почти вертикальным, другие превращают его в прямую линию.

Наши чувства помогают понять логику логарифмов: мир вокруг меняется в разы, а мы часто ощущаем эти скачки куда мягче. И в других областях работает тот же принцип сравнения отношений. Из 1 в 2 и из 100 в 200 — одинаковое удвоение. Из 1 в 101 и из 100 в 200 — одинаковая прибавка. Логарифм помогает не путать одно с другим.

Поэтому вопрос «где мне понадобятся логарифмы?» можно перевернуть. Когда в следующий раз услышите про децибелы, pH, магнитуду землетрясения, сложные проценты или октаву, попробуйте спросить: здесь считают, на сколько изменилось, или во сколько раз? Если второе, логарифм, скорее всего, уже где-то рядом.

Источники

1. Sanderson D. J. (2024). A bias-free test of human temporal bisection: Evidence against bisection at the arithmetic mean. Cognition, 247, 105770.
2. Mertens A., Mertens U. K., Lerche V. (2021). On the difficulty to think in ratios: a methodological bias in Stevens’ magnitude estimation procedure. Attention, Perception, & Psychophysics, 83, 2347–2365.
3. NIOSH (1975). Industrial Noise Control Manual. DHHS (NIOSH) Publication No. 75-183.
4. IUPAC (2025). pH. Compendium of Chemical Terminology (Gold Book), 5th ed.
5. Reddy A., Norris D. F., Momeni S. S., Waldo B., Ruby J. D. (2016). The pH of beverages in the United States. Journal of the American Dental Association, 147(4), 255–263.
6. Schneider F. et al. (2019). In Vitro and In Vivo Test Methods for the Evaluation of Gastroretentive Dosage Forms. Pharmaceutics, 11(8), 416.
7. MedlinePlus. Arterial Blood Gas (ABG) Test. U.S. National Library of Medicine.
8. USGS. Earthquake Magnitude, Energy Release, and Shaking Intensity. U.S. Geological Survey.
9. Edwards J. (2011). How Purdue Used Misleading Charts to Hide OxyContin’s Addictive Power. CBS News.
10. City of Lorain v. Purdue Pharma L.P. et al. (2017). Court filing and complaint (Exhibit 1). U.S. District Court, Northern District of Ohio.
11. Full Fact (2014). Bad Graphs: Is this graph doing well or badly?. 30 October 2014.